Kompyuter kabelingizning chigalligi yoki mushugingiz ipakni doʻngalak qilgani — tugunlar kundalik hayotimizda hamma joyda uchraydi. Ular fanda ham keng tarqalgan: DNK halqalarida, polimer iplarida va suv oqimlarida. Sof matematikada esa tugunlar topologiyaning markaziy masalalarini hal qilishda kalit hisoblanadi.

Biroq tugun nazariyotchilari hali ham eng asosiy savolga javob bera olmaydi: ikki tugunni bir-biridan qanday ajratish mumkin?

Muammo nimada?

Ikki murakkab tugunning bir xil tuzilishga ega yoki emasligini faqat ularga qarab aniqlash qiyin. Ular butunlay boshqacha koʻrinsa ham, birini boshqasiga aylantirib boʻlishi mumkin — shunchaki baʼzi iplarni koʻchirsangiz bas. Matematik nuqtai nazardan tugunning ikki uchi doim birbiriga biriktirib qoʻyiladi, shuning uchun bunday harakatlar uni yechmaydi.

Soʻnggi bir asr davomida tugun nazariyotchilari tugunlarni ajratishning aniq, ammo nomukammal usullarini ishlab chiqishdi. Tugun invariantlari deb ataladigan bu usullar tugunning turli xususiyatlarini oʻlchaydi. Agar siz ikki tugunni invariant yordamida oʻlchab, turli natija olsangiz — ularning farqli ekanligini isbotlagan boʻlasiz. Lekin teskari holat har doim ham toʻgʻri emas.

"Koʻpchilik invariantlar yoki juda kuchli, lekin hisoblab boʻlmaydigan, yoki oson hisoblanadigan, lekin juda zaif boʻladi."

— Daniel Tubbenhauer, Sidney universiteti

Yangi kashfiyot: Kuchli va tez invariant

Toronto universiteti professori Dror Bar-Natan va Groningen universiteti (Niderlandiya) professori Roland van der Veen matematiklar uchun ikki yomon variantdan birini tanlashni talab qilmaydigan yangi tugun invariantini kashf etishdi. U ham kuchli, ham tez hisoblanadi.

Bu kombinatsiya matematiklarga ilgari yetib boʻlmaydigan tugunlarni oʻrganish imkonini beradi. Yangi invariantni 300 tutashmali tugunlar uchun osongina hisoblash mumkin. Bar-Natan va van der Veen esa 600 dan ortiq tutashmali tugunlar uchun ham invariantning baʼzi jihatlarini hisoblab chiqishdi.

"Bu kashfiyot yangi turdagi teleskopga oʻxshaydi: u tanish masofalar boʻyicha ancha oʻtkir tasvir beribgina qolmay, bizning erishish doiramizni ham 10 barobar kengaytiradi."

— Gil Kalai, Quddus ibroniy universiteti

Chiroyli "QR Kodlar"

Har bir tugun uchun invariant rang-barang oltiбurchakli "QR kod" chiqaradi — qor parchasidek simmetrik va nozik. Bu murakkab naqshlar olimlarni tugunlarning chuqurroq topologik xususiyatlariga yoʻnaltirishi kutilmoqda.

"Natija ajoyib darajada chiroyli va inanilmas darajada xilma-xil. U go'yo boshqa dunyodan kelgandek."

— Liam Watson, Britaniya Kolumbiya universiteti

Yo'l Harakati Orqali Tushuntirish

Bar-Natan va van der Veen yangi invariantni yo'l harakati tili orqali tasvirladilar. Tugunni boshlangʻich va oxirgi nuqtasi bor bir tomonlama magistralga oʻxshating. Har bir tutashma joyida pastga tushish panduci bor. Mashina pastga tushish panducidan foydalanish ehtimolligi x boʻlgan holda pastga tushadi.

Yangi invariant uchun ular ikki xil mashina turini kiritdilar — ular x va y ehtimollik bilan pastga tushadilar. Eng muhimi: ba'zan ikkita mashina birlashib, uchinchi turdagi transport vositasini hosil qiladi — go'yo biri ikkinchisini tortib ketayotgandek. Keyin ular yana ajralib ketishi mumkin.

"Biz bir maʼnoda shunchaki sinab koʻrdik."

— Roland van der Veen

Qanchalik Kuchli?

Tubbenhauer hisob-kitob qilganda, yangi invariant 18 tutashmali tugunlarning 97% dan ko'prog'ini noyob tarzda aniqlaydi. Taqqoslash uchun:

  • Jones polinomi — eng keng qoʻllaniladigan invariantlardan biri — atigi 42% ni aniqlaydi
  • Aleksandr polinomi esa atigi 11% ni aniqlaydi

"Menimcha, bu invariantning hisoblanuvchanlik va nisbiy kuchi jihatidan tengi yo'q."

— Liam Watson

Kelajak Rejalari

Bar-Natan va van der Veen QR kodning tugunlarni ajratishdan tashqari ko'plab qoʻllanilishi boʻlishini kutishmoqda. Xususan, ular oltiбurchak diametri tugun murakkabligining quyi chegarasini — tugunning turini — belgilashiga ishonishadi. Bu esa katta tugunlarning turini hisoblab chiqishda sezilarli yutuq boʻladi.

Boshqa olimlar esa yanada koʻp mashina va oʻzgaruvchiga ega yoʻl harakati sxemalarini yaratishga, Kontsevich integralida saqlangan maʼlumotlarning tobora koʻpini qoʻlga kiritishga urinishlari mumkin.

"Bizni kutayotgan shunga oʻxshash narsalarning butun bir hayvonot bogʻi bor."

— Roland van der Veen

Manba: Quanta Magazine — "A Powerful New 'QR Code' Untangles Math's Knottiest Knots", muallif: Erica Klarreich (22-aprel, 2026). Maqola o'zbek tiliga moslashtirilgan va qayta ishlangan.